Komplexe Zahlen und Polynome

Etwas, das kaum jemand weiß, ist dass die komplexen Zahlen neben ihrem Einsatzgebiet in der Komplexen Wechselstromrechnung (HTLer kennen es) auch einen zweiten, wichtigen Nutzen haben.

In der Mathematik gibt es oft das Problem, zu einer gegebenen Funktion f(x) eine Zahl x zu finden, sodass f(x) = 0 gilt.

Insbesondere für Polynome ist das häufig der Fall, da sich viele wichtige Mathematischen Funktionen gut durch Polynome annähern lassen.

Der Fundamentalsatz der Algebra besagt nun, dass wenn wir zulassen, dass x eine komplexe Zahl sein darf, dann gibt es immer eine Lösung für das Problem, sodass f(x) = 0 ist.

Einschränkung: aber das Polynom darf nicht nur aus einem konstanten Term bestehen, also z.B. f(x) = 5 wäre unzulässig. Das x muss mindestens einmal im Polynom vorkommen. Ansonsten gibt es aber wirklich keine Einschränkungen :-)

PS: Im angegebenen Beispiel auf dem Bild (f(x) = x² + 2 = 0) wäre eine Lösung etwa x = √2 i ≈ 1.4 i.